477. Орлов А.И. Метод оценивания длины периода и периодической составляющей сигнала. – В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. – Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1999. С.38-49.

УДК 519.2
А.И.Орлов
г.Москва

МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ ДЛИНЫ ПЕРИОДА
И ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СИГНАЛА

Предлагается новый класс непараметрических оценок длины периода и периодической составляющей во временных рядах. Исходя из общих результатов статистики объектов нечисловой природы доказана состоятельность этих оценок.

Введение
	Во многих прикладных задачах рассматривают временной ряд (или случайный процесс) y(t)=x(t)+e(t), где x(t) - детерминированная периодическая функция от времени t, т.е. x(t)=x(t+T) при некотором T, где T - длина периода (минимальная из возможных), а e(t) - “шумы”, случайные погрешности, искажающие периодический сигнал. Требуется оценить длину периода T и периодическую составляющую x(t). При этом не предполагаем, что функция x(t) входит в какое-либо параметрическое семейство, например, конечных сумм синусов и косинусов, т.е. рассматриваем задачу непараметрического оценивания (минимальной) длины периода и периодической составляющей сигнала. 
	Приведем примеры прикладных постановок.
1. По акустическим сигналам необходимо установить тип двигателя. Предполагается, что двигатели различаются по длине периода и виду основного периодического сигнала. Процедура идентификации основана на оценивании длины периода и периодической составляющей регистрируемого сигнала.
2. В предположении цикличности экономических процессов требуется статистическим данным установить длину цикла и на основе вида периодической составляющей построить прогноз, например, прогноз урожайности, емкости рынка тех или иных товаров или экономической активности в целом.
3. Для среднесрочного прогнозирования развития социокультурной сферы (социально-политического “климата”, живописи, музыки, архитектуры, поэзии и т.д.) необходимо выявить ее цикличность [1] с помощью объективных измерений на базе субъективных первичных данных (т.е. на базе оценок экспертов).
4. В исторических событиях, описываемых согласно распространенной в настоящее время т.н. скалигеровской хронологии, обнаруживают цикличность [2], что полностью объясняется новой статистической хронологией [3], построенной с помощью методов статистики объектов нечисловой природы, и одновременно служит ей подтверждением.
Описание метода оценивания
	Пусть рассматриваемые функции y(t), x(t), e(t) определены на отрезке [0; А]. При фиксированном Т рассмотрим “куски” сигнала y(t) на последовательных отрезках длины Т, т.е. на отрезках [0;Т], [Т;2Т], [2Т;3Т], ... Удобно ввести последовательность функций на отрезке [0;Т], полученную сдвигами этих кусков к началу координат: y1(t)=y(t), y2(t)=y(t+Т), y3(t)=y(t+2Т), ... Все они определены на отрезке [0;Т]. Число этих функций равно числу полных периодов длины Т, укладывающихся на отрезке [0;А], т.е. равно целой части А/Т. Отметим, что если Т - период, то 2Т, 3Т, 4Т,... - тоже периоды. Из всех периодов будем рассматривать и оценивать наименьший.
	Если Т=Т0 - истинный период (или кратный ему) и погрешности e(t) отсутствуют, то все введенные в предыдущем абзаце функции совпадают между собой и с периодической составляющей: x(t)=y1(t)=y2(t)=y3(t)=... при всех t из [0;Т]. При наличии погрешностей полного совпадения не будет. Однако отклонения определяются лишь шумами в различные моменты времени. При этом в качестве оценки периодической составляющей x(t) естественно взять среднее арифметическое yср(t) функций y1(t), y2(t), y3(t), ... (могут быть использованы и другие виды средних величин).
Если же Т отличается от истинного периода Т0 (и кратных ему величин), то различия функций y1(t), y2(t), y3(t), ... между собой определяются также и различием значений x(t) в точках, отстоящих друг от друга на интервалы, длина которых кратна Т. 
	В предположении отсутствия погрешностей (т.е. когда e(t) тождественно равно 0) рассмотрим поведение функции yср(t) на отрезке [0;Т] при росте длины интервала наблюдения сигнала А, а потому и при росте числа периодов - целой части числа А/Т. Если Т= Т0 или Т кратно Т0, то, как уже сказано, yср(t) совпадает с периодической составляющей x(t). Если число Т/Т0 иррационально, то можно показать, что значения t+mT(modТ0), где m - натуральные числа такие, что t+mT<A, асимптотически (при росте A) равномерно заполняют отрезок [0;Т0], а потому при выполнении соответствующих условий регулярности, например, непрерывности периодической составляющей сигнала, функция yср(t) приближается к константе - среднему значению периодического сигнала x(t), т.е. интегралу от x(t) по отрезку [0;Т0], деленному на Т0. При этом при конечных А функция yср(t) отлична от константы. Если же число Т/Т0 рационально, то наблюдаем промежуточный случай по сравнению с двумя описанными выше, в котором yср(t), как можно показать, приближается к периодической функции с периодом Т=Т0/n при некотором натуральном n. Эта функция получена усреднением n последовательных участков длины Т0/n периодического сигнала x(t). Она не является константой, хотя разброс ее значений меньше, чем для исходного периодического сигнала, поскольку Т0 - минимальная длина периода. 
	Из сказанного вытекает, что для оценивания Т целесообразно ввести два показателя: показатель разброса F(T;Y)=F(T; y1(t), y2(t), y3(t), ... ) множества функций {y1(t), y2(t), y3(t), ... } на отрезке [0;Т] и показатель размаха G(T;Y)=G(T, yср(t)) функции yср(t) на отрезке [0;Т]. (Символ Y означает здесь, что показатели разброса и размаха строятся по функции y(t).) При этом показатель разброса нацелен на оценку различий в значениях семейства функций при одном и том же значении аргумента, а показатель размаха - на различие значений одной и той же функции при различных значениях аргумента. Ниже выписан ряд формул для этих показателей в случае непрерывного времени. Для дискретного времени их можно адаптировать двумя способами: либо заменив sup на max, а интеграл на сумму; либо расширив область определения используемых функций на весь отрезок, например, соединив соседние точки отрезками или использовав для заполнения пропусков сплайны более высокого порядка.
	В качестве оценки длины периода по фиксированным показателям разброса F(T;Y) и размаха G(T;Y) представляется рациональным использовать то Т, при котором отношение F(T;Y)/G(T;Y) впервые (при росте Т начиная с 0) достигает минимума. Поскольку показатели разброса F(T;Y) и размаха G(T;Y) могут быть выбраны многими разными способами, можно указанным выше способом построить целое семейство алгоритмов оценивания длины периода, с каждым из которых может быть связано семейство методов оценивания периодической составляющей путем того или иного способа усреднения функций y1(t), y2(t), y3(t), ...

Показатели разброса и размаха

	Ввести показатели разброса F(T;Y)=F(T; y1(t), y2(t), y3(t), ... ) можно разными способами. Пусть k=[A/T]. Можно использовать функционалы супремумного типа (здесь и далее число слагаемых k не будем указывать в обозначении функционалов): 

	Для применения функционалов интегрального типа целесообразно сделать замену переменной q=t/T и перейти к функциям Yi(q)=yi(t)=yi(qT), i =1,2,...,k, Yср(q)=yср(t)=yср(qT), определенным на отрезке [0;1]. В качестве показателя разброса представляется полезным рассмотреть то или иное отклонение совокупности функций Yi(q), i =1,2,...,k, друг относительно друга. Можно сказать, что эти функции заполняют некую “трубку”, которая тоньше всего при истинном значении периода T, а внутри нее проходит периодическая составляющая X(q)=x(t)=x(qT). Естественно рассмотреть функционалы интегрального типа 

Список показателей разброса можно расширить. В частности, естественно использовать расстояния в функциональных пространствах Lp при произвольном p>1, а для оценивания периодической составляющей применять не только среднее арифметическое, но и другие виды средних.
	Показатели размаха также можно ввести различными способами. Например,

	Пусть сделана замена переменной q=t/T и осуществлен переход к функции Yср(q)=yср(t)=yср(qT). Возможными показателями размаха являются:
	Введем среднее значение оценки периодической составляющей

	Естественные показатели размаха таковы:

	Список показателей размаха, как и список показателей разброса, можно расширить. В частности, естественно использовать расстояния в функциональных пространствах Lp при произвольном p>1, а для оценивания периодической составляющей применять не только среднее арифметическое, но и другие виды средних - медиану, среднее геометрическое и др. Вопрос о выборе наилучших (в каком-либо смысле) показателей размаха и разброса в настоящей работе не обсуждается. Некоторые из причин этого отказа от оптимизации рассмотрены ниже.
Алгоритмы оценивания
	С прикладной точки зрения остается численно минимизировать один или несколько из 66 функционалов Fi(T;Y)/Gj(T;Y), i=1,2,...,11, j=1,2,...,6. Численная минимизация по одному параметру при современных ЭВМ не вызывает проблем, даже если попросту перебирать возможные значения периода с шагом 0,001. По нескольким реальным или смоделированным сигналам можно установить, какой из функционалов позволяет оценить период и периодическую составляющую реально встречающихся сигналов наиболее точно. Возможно и одновременное использование всех или части функционалов, что в соответствии с методологией устойчивости [4] позволяет установить чувствительность оценок к выбору метода оценивания, найти интервал их разброса. Проведенные в Лаборатории эконометрических исследований Московского государственного института электроники и математики (технического университета) расчеты по реальным и смоделированным данным о сигналах показали, что описанные выше алгоритмы позволяют оценивать длину периода и восстанавливать периодическую составляющую сигнала достаточно точно с практической точки зрения.
	В обширной литературе по временным рядам [5-20] проблеме оценивания периода не уделяется большого внимания. Фактически рекомендуют пользоваться либо периодограммой, либо автокорреляционной функцией. С помощью периодограммы (несостоятельной оценки спектральной плотности) можно выделить лишь синусоидальные составляющие, в то время как в рассматриваемых нами прикладных задачах периодическая составляющая представляет интерес сама по себе, без разложения на гармоники. Вторая рекомендация более полезна. В качестве оценки периода можно взять наименьшее положительное число, в котором достигается локальный максимум автокорреляционной функции. Эмпирический коэффициент автокорреляции - еще один функционал типа тех, что перечислены выше. 
	При поверхностном взгляде на проблемы статистического оценивания, как и на иные проблемы прикладной математики, часто возникает желание обсудить “оптимальность” тех или иных процедур. При более глубоком анализе становятся очевидными два обстоятельства. Во-первых, оптимальность имеет быть лишь в рамках той или иной модели, при отклонениях от которой оптимальность пропадает. Например, выборочное среднее арифметическое как оценка математического ожидания оптимальна тогда и только тогда, когда распределение результатов наблюдений - гауссово [21]. С другой стороны, для практически любой статистической процедуры можно подобрать свойство оптимальности так, чтобы эта процедура оказалась оптимальной. Так, метод наименьших модулей оптимален, если погрешности имеют распределение Лапласа, а метод наименьших квадратов - когда их распределение гауссово. Поскольку реальные распределения - не Лапласа и не Гаусса, то указанные математические результаты большого практического значения не могут иметь. 
	Однако представляется полезным получить доказательства состоятельности оценок в возможно более широких, например, непараметрических, постановках. Хотя на основе самого факта сходимости нельзя оценить близость оценок к интересующим исследователя параметрам, но получение доказательства состоятельности - первый шаг при изучении скорости сходимости [22].
Состоятельность оценок
	Общий подход к установлению асимптотического поведения решений экстремальных статистических задач развит в статье [23]. Согласно нему сначала при фиксированном Т доказывается сходимость (по вероятности) при значений функционала (показателя разброса) к некоторой предельной функции, а затем проверяются условия, обеспечивающие сходимость Argmin допредельного случайного процесса к Argmin этой детерминированной функции.
	Свойства алгоритмов приходится изучать в рамках тех или иных вероятностно-статистических моделей. Моделей может быть много. Достаточно вспомнить историю Центральной Предельной Теоремы (ЦПТ) теории вероятностей, которая на протяжении более 200 лет доказывалась во все более и более широких условиях, вплоть до необходимых и достаточных условий Линдеберга-Феллера (после чего начались обобщения на зависимые слагаемые, на суммы случайных элементов гильбертовых пространств и др.). Отметим, что иногда математические модели далеко выходят за пределы, достаточные для обоснования алгоритмов анализа реальных данных. Так, почти всегда распределения реальных величин дискретны и финитны, а потому, в частности, существуют все моменты. Однако условия финитности и дискретности в вероятностно-статистических моделях часто необоснованно ослабляются. В результате возникают проблемы, не имеющие отношения к реальным данным, например, связанные с измеримостью относительно тех или иных сигма-алгебр. Поэтому в настоящей работе ограничимся наиболее простыми моделями из адекватных реальным постановкам. 

	Теорема 1. Пусть случайный процесс e(t) имеет нулевое математическое ожидание, является стационарным и эргодическим (т.е. выполнена теорема Биркгофа-Хинчина) с непрерывными траекториями. Тогда при фиксированном Т и имеем
(сходимость по вероятности), где Еср(q)=Yср(q)-Xср(q), т.е. Еср(q) - среднее арифметическое погрешностей e(qT), e(qT+T), e(qT+2T),...
	Доказательство теоремы 1 проводится стандартными методами теории стационарных временных рядов (с шагом Т) с использованием известного условия достаточно быстрого убывания элементов матрицы Лорана по мере удаления от ее главной диагонали (необходимого и достаточного для справедливости теоремы Биркгофа-Хинчина). С помощью теоремы 1 находим асимптотику введенных выше показателей разброса и размаха.
	Теорема 2. В предположениях теоремы 1 при фиксированном Т и пронормированные показатели разброса Fi(T;Y) для наблюдаемого сигнала У сближаются по распределению с соответствующими положительными случайными величинами , зависящими от Т, характеристик случайного процесса e(t) и периодической составляющей Х, т.е. существуют числовые последовательности si(k) 

такие, что
	Доказательство теоремы 2 проводится с помощью достаточно трудоемких (в частности, из-за числа функционалов), но стандартных рассуждений, посвященных максимумам (не супремумам, т.к. траектории функции x(t) и случайного процесса e(t) непрерывны) случайных процессов и интегралам от них, с использованием принципа инвариантности [24] и ряда результатов теории стационарных случайных процессов [14]. Таким образом, пронормированные функционалы разброса асимптотически не зависят от числа слагаемых - в этом и состоит основной смысл теоремы 2.
	Теорема 3. В предположениях теоремы 1 при фиксированном Т и  показатели размаха для наблюдаемого сигнала У сближаются с соответствующими показателями для периодической составляющей Х, т.е. 

	Для доказательства используются стандартные оценки, основанные на виде конкретных функционалов, задающих показатели размаха. В отличие от теоремы 2 предельные показатели детерминированы. 
	Аналоги теорем 2 и 3 верны также и при использовании (в качестве показателей разброса и размаха) расстояний в функциональных пространствах Lp при произвольном p>1, а для оценивания периодической составляющей - не только среднего арифметического, но и других видов средних - медианы, среднего квадратического, среднего геометрического, обобщенных средних по Колмогорову [4] и др.

	Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 1, периодическая составляющая непрерывна и имеет период Т0 . Тогда при фиксированном Т и  показатели разброса (пронормированные) и размаха стремятся к некоторым детерминированным пределам, зависящим только от Т и Т0 , т.е.:
(сходимость по вероятности), минимум каждой из функций Fi(T;Т0), i=1,2,...,11, и максимум каждой из функций Gj(T;Т0) , j=1,2,...,6, достигается при T=Т0 и при T, кратных Т0 , причем у показателей разброса Fi(T;Т0) возможны и иные минимумы, а у показателей размаха Gj(T;Т0) других максимумов нет. 
	Доказательство вытекает из теорем 2 и 3 и свойств усреднения периодической составляющей при росте длины интервала наблюдения сигнала, описанных в начале настоящей статьи. Отметим, что предельные значения функционала разброса Fi(T;Т0), вообще говоря, показывают разброс случайной погрешности, другими словами, не всегда зависят от периодической составляющей, а потому из-за нормировки на единичный отрезок в ряде случаев оказываются константами. Вместе с тем численные эксперименты показывают, что отмеченная сходимость к пределу является сравнительно медленной, и минимизация непосредственно функционалов разброса (без учета показателей размаха) при конкретной длине сигнала позволяет достаточно точно выделить периодическую составляющую из реальных данных. Однако описанные выше теоретические результаты заставили отказаться от первоначальной гипотезы о том, что достаточно использовать только показатели разброса, и скорректировать алгоритмы, введя деление на показатели размаха. 
	Теорема 5. В предположениях теоремы 4 оценки, являющиеся первыми локальными минимумами при минимизации по Т отношений одного из 11 перечисленных выше показателей разброса к одному из 6 показателей размаха, являются состоятельными оценками истинного периода Т0, а функция yср(t) является состоятельной оценкой периодической составляющей х(t) на отрезке [0;Т0].
	Согласно теоремам 1-4 установлена сходимость (по вероятности) значений допредельных функционалов к предельным при каждом конкретном Т. Для доказательства сходимости минимумов допредельных функционалов к минимумам предельных воспользуемся общей теорией асимптотического поведения решения экстремальных статистических задач [23]. Условие асимптотической равномерной разбиваемости [23] выполнено, как можно показать, в силу непрерывности траекторий случайного процесса - погрешности измерения сигнала - и периодической составляющей сигнала, откуда и вытекает заключение теоремы 5, дающей теоретико-статистическое обоснование использованию системы описанных выше эвристических алгоритмов оценивания длины периода и периодической составляющей. При известной или достаточно точно оцененной длине периода сама периодическая составляющая естественным образом оценивается с помощью усреднения перенесенных к началу координат кусков сигнала, и в силу теоремы 1 эта оценка является состоятельной. Затем для получения оценки математического ожидания сигнала на всей области его определения указанную оценку можно периодически продолжить. 
	Замечание. При практическом использовании описанных в настоящей статье алгоритмов целесообразно учитывать дополнительные особенности реальных сигналов. В частности, обратим внимание на неустойчивость супремумов (в смысле [4]) по отношению к выбросам (резко выделяющимся наблюдениям) сравнительно с функционалами интегрального типа. Поэтому в ситуации, когда аппаратура, регистрирующая реальный сигнал, может допускать сбои в отдельные моменты времени, целесообразно в качестве показателей разброса и размаха использовать функционалы интегрального типа.

Библиографический список

1. Петров В.М., Мажуль Л.А. Цикличность социокультурной сферы и проблемы среднесрочного прогнозирования ее развития // Математическое и компьютерное моделирование в науках о человеке и обществе. Тезисы докладов Всероссийской конференции. - М.: Госуд. ун-т управления, 1999. - С.63-66.
2. Николаев А.В. Структура исторического цикла // Там же. - С.54-54.
3. Носовский Г.В., Фоменко А.Т. Введение в новую хронологию. (Какой сейчас век?). - М.: КРАФТ+ЛЕАН, 1999. 
4. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979.
5. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976.
6. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. - М.: Мир, 1974. 
7. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980.
8. Венсель В.В. Интегральная регрессия и корреляция: статистическое моделирование рядов динамики. - М.: Финансы и статистика, 1983.
9. Гренандер У. Случайные процессы и статистические выводы. -М.: ИЛ, 1961. 
10. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.
11. Журбенко И.Г. Анализ стационарных и однородных случайных систем. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 
12. Кендалл М.Дж., Стъюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М.: Наука, 1976.
13. Кендэл М. Временные ряды. - М.: Финансы и статистика, 1981.
14. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. - М.: Мир, 1969.
15. Ковалева Л.Н. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики.- М.: Финансы и статистика, 1980.
16. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. - М.: Мир, 1982.
17. Рабинер Р., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. - М.: Мир, 1978. 
18. Статистический анализ экономических временных рядов и прогнозирование. (Серия "Ученые записки по статистике", тт.22-23.) - М.: Наука, 1973. 
19. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. - М.: Мир, 1974. 
20. Цветков Э.И. Основы теории статистических измерений. - Л.: Энергоатомиздат, 1986. 
21. Каган А.М., Линник Ю.В., Рао С.Р. Характеризационные задачи математической статистики. - М.: Наука, 1972. 
22. Орлов А.И. Методы оценки близости допредельных и предельных распределений статистик // Заводская лаборатория. 1998. Т.64. № 5. С.64-67.
23. Орлов А.И. Асимптотика решений экстремальных статистических задач // Анализ нечисловых данных в системных исследованиях. Сб. трудов. Вып.10. - М.: ВНИИСИ, 1982. - С.4-12.
24. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. - М.: Наука, 1977.